प्रथम क्रम रैखिक ODE का समाधान

$\alpha \in \mathbb{R}$ के लिए, मान लीजिए कि $y_{\alpha}(x)$ अवकल समीकरण $$\frac{dy}{dx} + 2 y = \frac{1} का हल है {1+x^2},\text{संतोषजनक} \space y(0)=\alpha.$$फिर साबित करें कि $\lim\limits_{x\to\infty}y_{\alpha}(x)=0$.

चूंकि उपरोक्त अंतर समीकरण एकीकृत कारक $e^{2x के साथ एक प्रथम क्रम रैखिक अंतर समीकरण है }$. इसलिए इसका समाधान इस प्रकार दिया गया है, $$y_{\alpha}(x) = e^{-2x} \left(\int \left(\frac{e^{2x}}{1+x^2}\right ) \rm d x + c\right)$$ अब मैं इस अभिन्न अंग में फंस गया हूं। मैंने भागों द्वारा एकीकरण की कोशिश की है लेकिन घातीय और $\frac{1}{1+x^2}$ शब्द के कारण यह उपयोगी नहीं है। मैंने प्रतिस्थापन की कोशिश की लेकिन कोई मदद नहीं मिली। दयालु कोई इस इंटीग्रल को हल करने में मेरी मदद करें या यदि इसे हल करने का कोई अन्य तरीका है तो कृपया साझा करें।

आपको इंटीग्रल करने की आवश्यकता नहीं है। $e^{-2x}$ को हर में रखें और L'हॉस्पिटल के नियम और कैलकुलस के मौलिक प्रमेय का उपयोग करें।

$$\lim_{x \to \infty} \frac{\int_0^x \ frac{e^{2t}}{1+t^2}\; dt} x\to \infty} \frac{1}{2(1+x^2)} = 0. $$

घातीय अभिन्न फलन की परिभाषा के अनुसार

$$\int \frac{e^{-x}}{x} d \ x = Ei[x]+c.$$

श्रृंखला के अनुसार यह एक $\log(x)$ प्लस एक संपूर्ण फ़ंक्शन है $$\mathop{Ei}(x) \ = \ \log x + \sum_{n=1}^\infty \frac{(-x)^{n}}{n \ n!}$$

आपकी समस्या के लिए आंशिक भिन्न अपघटन का उपयोग करें

$$\frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{2}\left( \frac{1}{x + मैं }+ \frac{1}{x-i} \right)$$

और एकीकरण पथ और सीमाएं इस प्रकार निर्धारित करें कि $x=0$ के लिए मान a मान लिया जाए।

यहां एक और प्रमाण है : \शुरू करें{संरेखित करें} y_{\alpha}(x)&=e^{-2x}\left(\alpha+\int_0^x\frac{e^{2t}}{1+t^2}\,dt\right) \\ &=e^{-2x}\left(\alpha+\int_0^{x/2}\frac{e^{2t}}{1+t^2}\,dt +\int_{x/2}^{x}\frac{e^{2t}}{1+t^2}\,dt\right), \tag{1} \अंत{संरेखित करें} इस तरह $$ |y_{\alpha}(x)|\leq e^{-2x}\left(|\alpha|+\left|\int_0^{x/2}\frac{e^{2t}}{1+t ^2}\,dt\right|+\left|\int_{x/2}^{x}\frac{e^{2t}}{1+t^2}\,dt\right|\right). \टैग{2} $$ $x>0$ के लिए हमारे पास है $$ \left|\int_0^{x/2}\frac{e^{2t}}{1+t^2}\,dt\right|<\int_0^{x/2}e^{2t}\,dt <\frac{e^x}{2} \tag{3} $$ और $$ \left|\int_{x/2}^x\frac{e^{2t}}{1+t^2}\,dt\right|<\frac{1}{1+(x/2)^2 }\int_{x/2}^{x}e^{2t}\,dt<\frac{2e^{2x}}{4+x^2}. \टैग{4} $$ $(3)$ और $(4)$ को $(2)$ में प्लग करने पर हमें प्राप्त होता है $$ |y_{\alpha}(x)|0), \टैग{5} $$ जिससे अनुसरण होता है $$ \lim_{x\to+\infty}y_{\alpha}(x)=0.\qquad\square \tag{6} $$